v2.11.0 (5553)

Enseignement scientifique & technique - MDI104 : Probabilités

Domaine > Mathématiques.

Descriptif

La théorie des probabilités est au cœur de maintes disciplines représentées dans nos enseignements spécialisés, qu'ils relèvent de l'intelligence artificielle, des statistiques, du traitement du signal, de l'image, des réseaux, ou des systèmes de communications. 
 
Elle se fonde entièrement sur un formalisme mathématique : la théorie de la mesure et de l'intégration. C'est donc l'analyse, en tant que discipline mathématique, qui fournit les mécanismes d'une théorie des probabilités rigoureuse. 
 
Le cours est donc constitué en deux parties. Nous construirons d'abord les outils de théorie de la mesure, et nous verrons ensuite de quelle manière ils sont utilisés en probabilité.
 

Objectifs pédagogiques

À l'issue du module, l'étudiant sera capable de :

Dépasser la vision combinatoire des probabilités, en inscrivant les probabilités dans le champ de l’analyse.

Expliquer le lien formel entre les probabilités au sens commun et les concepts mathématiques de mesure et d’intégrale.

Caractériser la loi d’un vecteur aléatoire par des objets calculables, tels que la fonction de répartition, la densité par rapport à une mesure de référence, la fonction caractéristique.

Modéliser des problèmes probabilistes avec le formalisme mathématique adéquat.

Quantifier, par la maîtrise du calcul intégral, l’occurrence d’événements aléatoires et l’espérance de variables aléatoires.

Conditionner le calcul des probabilités par la connaissance préalable d’autres variables aléatoires observées.

39 heures en présentiel (24 blocs ou créneaux)
réparties en:
  • Contrôle de connaissance : 3
  • Leçon : 36

24 heures de travail personnel estimé pour l’étudiant.

Diplôme(s) concerné(s)

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur

- Probabilités discrètes  

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade européen

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur

Vos modalités d'acquisition :

Contrôle continu (50 % de la note): modalités à l’appréciation de l’enseignant responsable du groupe, incluant quizz, devoirs maison, contrôle sur table.

Examen final (50 % de la note) : 3h, devoir sur table, documents interdits à l’exception d’une feuille A4 recto-verso rédigée de la main de l’élève.

L’objectif est d’évaluer la capacité de l’élève à :

- formuler et modéliser des problèmes probabilistes en s’appuyant sur les concepts mathématiques de mesure et d’intégrale.

- caractériser la loi d’un vecteur aléatoire par des objets calculables, tels que la fonction de répartition, la densité par rapport à une mesure de référence, la fonction caractéristique.

- Quantifier, par la maîtrise du calcul intégral, l’occurrence d’événements aléatoires et l’espérance de variables aléatoires.

- Maîtriser la notion d’espérance conditionnelle.

 

 

L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 3 ECTS
  • Crédit de BCI acquis : 3

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

L'UE est évaluée par les étudiants.

Programme détaillé

- Éléments de théorie de la mesure : tribus, mesures, mesures discrètes, mesure de Lebesgue, ensembles et fonctions mesurables, fonction de répartition.

- Théorie de l'intégration : intégrale de Lebesgue, théorèmes de convergence de suites d'intégrales, espaces produits et théorème de Fubini, mesures à densité.

- Variables aléatoires : loi, densité, espérance, indépendance, fonction de répartition, fonction caractéristique.

- Vecteurs gaussiens

- Espérance conditionnelle

- Introduction aux convergences : loi des grands nombres, théorème central limite.

 

 

élémentaires : événements, dénombrements, probabilités discrètes, espérance, variance, fonction génératrice.
-Variables aléatoires continues et leurs lois : lois usuelles, calculs de lois images, fonction caractéristique, modélisations simples.
- Vecteurs aléatoires, introduction aux processus à temps discrets
- Indépendance et conditionnement : utilisation de l'indépendance, lois conditionnelles des variables aléatoires discrètes et des couples « à densité ».
- Espérance conditionnelle et densité conditionnelle
- Vecteurs gaussiens : transformations affines de vecteurs gaussiens.
- Loi des grands nombres.
- Théorème central limite et applications.
- Introduction à la simulation.

Mots clés

Probabilités, Théorie de la mesure, Intégration
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