Descriptif
Langue d'enseignement : anglais
Ce cours traite des notions importantes des probabilités, souvent abordés de façon plus calculatoire que théorique dans les années précédentes, et qui seront ici approfondies : construction générale et règles de calcul de l'espérance conditionnelle, domination des mesures et densités de probabilité, loi conditionnelle, processus stochastiques, temps d'arrêt et filtrations. Ces notions repose sur les théorèmes fondamentaux de l'analyse hilbertienne et que nous rappellerons : théorème de projection et théorème de représentation. Les notions de probabilité nécessaires étant établies, nous aborderons les théorèmes important de la statistique mathématique. Nous concluerons sur une introduction générale de la théorie des martingales à temps discret, qui constituent un outil essentiel du calcul stochastique.
Objectifs pédagogiques
Acquis d'apprentissageÀ l'issue de l'UE, l'élève sera capable de:
- Calculer l'espérance conditionnelle d'une variable aléatoire sachant une tribu.
Précision: la notion de tribu est l'outil mathématique permettant de décrire une information disponible, l'espérance conditionnelle représentant la meilleure approximation d'une variable inconnue à partir de cette information.
- Décrire et calculer la loi conditionnelle d'une variable aléatoire sachant une tribut ou une autre variable aléatoire.
Précision: la notion de noyau de probabilité et leur manipulation permettent d'aborder cette question de façon rigoureuse et efficace mais requiert une analyse fine et une pratique intensive.
- Reconnaître et utiliser une statistique exhaustive pour estimer un paramètre.
Précision: Le théorème de Fisher et la procédure d'amélioration de Rao-Blackwell sont étudiés et appliqués en profondeur.
- Définir, reconnaître et étudier une martingale, en particulier son comportement asymptotique.
Précision: la théorie des martingales permet d'obtenir des des résultats très puissants à la base de l'analyse asymptotique des algorithmes stochastiques.
Compétences de rattachement (et justification)
- BC10.3 – Analyser une résolution par des approches formelles ou mathématiques; Justification : Toutes les notions sont abordées avec une rigueur mathématique permettant de s'assurer de propriétés démontrables d'un système décrit par un modèle probabiliste.
- BC10.2 – Analyser et résoudre des problèmes mathématiques et algorithmiques nécessaires dans des étapes de réalisation d’un projet en s’appuyant, si besoin est, sur des simulations et dans l’objectif d’implémenter des solutions compétitives; Justification : Les méthodes de simulation aléatoire reposent à la fois sur la notion de dépendance conditionnelle (on simule la plupart du temps des variables par des méthodes itératives en cherchant à contrôler leur dynamique) et de comportement limite, dont les bases mathématiques (lois conditionnelles et martingales) sont introduites dans cette UE.
48 heures en présentiel
100 heures de travail personnel estimé pour l’étudiant.
Diplôme(s) concerné(s)
Parcours de rattachement
Pour les étudiants du diplôme Echange international non diplomant
Voir version anglaise.
Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur
Voir version anglaise.
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade européenPour les étudiants du diplôme Echange international non diplomant
Vos modalités d'acquisition :
Un partiel de 3 heures est effectué à mi-parcours, puis un contrôle final de 3 heures également.
L'UE est acquise si Note finale >= 10- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur
Vos modalités d'acquisition :
Un partiel de 3 heures est effectué à mi-parcours, puis un contrôle final de 3 heures également.
L'UE est acquise si Note finale >= 10- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
- Crédit d'UE électives acquis : 5
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
Programme détaillé
Voir version anglaise.
Mots clés
Modèles statistiques, statistiques exhaustives, processus stochastiques, martingales, loi des grands nombresMéthodes pédagogiques
Cours magistral et TD en petit groupes (une vingtaine).Un polycopié très complet, des exercices corrigés et des annales sont fournies aux étudiants.
