Descriptif
Langue d’enseignement : anglais
cf. English versionObjectifs pédagogiques
Acquis d'apprentissageÀ l'issue de l'UE, l'élève sera capable de:
- Caractériser une chaîne de Markov et son noyau.
Précisions: une fois les chaînes de Markov définies, il s'agit de maîtriser les différentes caractérisations, et de calculer son noyau. Un exercice typique est d'appliquer ce programme pour une suite de variables aléatoires par transformations itérative impliquant une suite i.i.d.
- Calculer des espérances et des probabilités conditionnelles d'événements ou statistiques futures sachant le passé en exploitant la propriété de Markov.
Précisions: il faut pour cela très bien maîtriser les opérations sur les noyaux de probabilité, la notion de temps d'arrêt et être capable d'exploiter la propriété forte de Markov.
- Démontrer la stationnarité d'une série temporelle et caractériser sa loi ou ses propriétés du second ordre.
Précisions: il faut pour cela maîtriser les définitions générales de stationnarité et stationnarité faible, la notion et la construction éventuelle (dans le cas de la présence d'un atome) d'une loi invariante, savoir définir et calculer des covariances et caractériser une auto-covariance par le théorème d'Herglotz.
- Exploiter les représentations spectrales par un champ à accroissements décorrélés pour le filtrage ou la prédiction.
Précision: on construit rigoureusement les représentations spectrales des séries temporelles stationnaires au sens faible, et montrons plusieurs implications fondamentales: processus des innovations, filtrage, prédiction.
Compétences de rattachement (et justification)
- BC10.3 – Analyser une résolution par des approches formelles ou mathématiques; Justification : Toutes les notions sont abordées avec une rigueur mathématique permettant de s'assurer de propriétés démontrables d'un modèle de série temporlle introduit de manière explicite (équations de récurrence) ou implicites (à travers propriétés particulières).
- BC10.2 – Analyser et résoudre des problèmes mathématiques et algorithmiques nécessaires dans des étapes de réalisation d’un projet en s’appuyant, si besoin est, sur des simulations et dans l’objectif d’implémenter des solutions compétitives; Justification : Les méthodes de simulation aléatoire reposent à la fois sur la notion de dépendance conditionnelle (on simule la plupart du temps des variables par des méthodes itératives en cherchant à contrôler leur dynamique) à travers des propriétés dynamiques d'une suite aléatoire. La première prorpiété est celle de la stationnarité de la suite produite et les notions de cette UE en forment une introduction mathématique indispensable.
24 heures en présentiel
49 heures de travail personnel estimé pour l’étudiant.
Diplôme(s) concerné(s)
Parcours de rattachement
Pour les étudiants du diplôme Echange international non diplomant
Voir version anglaise
Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur
Voir version anglaise
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade européenPour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur
Vos modalités d'acquisition :
Examen écrit de 2 heures.
L'UE est acquise si Note finale >= 10- Crédits ECTS acquis : 2.5 ECTS
- Crédit d'UE électives acquis : 2.5
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
Pour les étudiants du diplôme Echange international non diplomant
Vos modalités d'acquisition :
Examen écrit de 2 heures.
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
Programme détaillé
Voir version anglaise
Mots clés
Chaines de Markov à états généraux, noyaux de Markov, propriété de Markov fort, mesure invariante d'un noyau, stationaruité forte, stationarité faible, autovovariance et mesure spectrale, représentation spectraleMéthodes pédagogiques
Cours magistral et TD en petit groupes (une vingtaine).Un polycopié très complet, des exercices corrigés et des annales sont fournies aux étudiants.
