Descriptif
Jusqu’alors on pensait que le calcul des probabilités devait se faire avec unespace abstrait muni d’une tribu et d’une mesure de probabilité.
Paul Malliavin s’est rendu compte qu’on pouvait enrichir le triplet fondamental avec un opérateur d’un certain type, et a obtenu de cette façon des résultats profonds et nouveaux.
Le calcul d’erreur est la généralisation de son idée à d’autres cas que le mouvement brownien en interprétant le calcul de Malliavin comme une propagation de la précision à travers les calculs de probabilités.
Grâce à la simulation, facile à maîtriser par les élèves, ceux-ci seront capables par cet enseignement de travailler la précision des modèles stochastiques qu’ils construiront en télécommunication, en finance, en environnement.
Cette théorie a été développée en particulier par Nicolas Bouleau (fondateur du laboratoire de l'école des Ponts) et il pourra intervenir à la dernière séance pour répondre aux questions des plus curieux !
Une référence : Théorie des erreurs — Nicolas Bouleau, 2019, Cassini & Spartacus IDH.
Objectifs pédagogiques
Acquis d'apprentissageÀ l'issue de l'UE, l'élève sera capable de:
- Comprendre la construction du mouvement brownien par les ""tentes de Schauder""
- Interpréter la célèbre formule d'Itô, équivalent pour les processus stochastiques du théorème fondamental du calcul différentiel.
- Expliquer la structure d'erreur complète et les applications qui en découlent
- Modéliser un calcul d'erreur par une structure d'erreur adaptée définie à l'aide des formes de Dirichlet selon l'application visée
- Mettre en oeuvre une simulation de tout problème d'application du calcul des erreurs
Compétences de rattachement (et justification)
- BC10.3 – Analyser une résolution par des approches formelles ou mathématiques; Justification : L'UE amène les élèves à résoudre des problèmes de calcul stochastique par la formule d'Ito
- BC10.2 – Analyser et résoudre des problèmes mathématiques et algorithmiques nécessaires dans des étapes de réalisation d’un projet en s’appuyant, si besoin est, sur des simulations et dans l’objectif d’implémenter des solutions compétitives; Justification : Les mini-projets des élèves s'appuient sur une modélisation de calcul d'erreur et des simulations en langage Python
- BC5.1 – Modéliser mathématiquement une situation, des données, des phénomènes physiques dans le contexte du numérique; Justification : L'UE amène les élèves à modéliser les problèmes de calcul d'erreur dans de nombreuses situations physiques
effectifs minimal / maximal:
8/30Diplôme(s) concerné(s)
UE de rattachement
- MDC_3UE02_TP : Sciences et technologies de l'ingénieur (I)
Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur
MDI104 Probabilités et MDI103 Analyse
Format des notes
Numérique sur 20Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur
Vos modalités d'acquisition :
L’évaluation est basée sur des soutenances de micro-projets avec résultats de simulation.
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- le rattrapage est obligatoire si :
- Note initiale < 10
Le coefficient de l'UE est : 0.2
L'UE est évaluée par les étudiants.
Programme détaillé
1. Rappels d'intégration et de probabilités. Les erreurs au sens de Gauss. Exemples en dimension finie.
2. Introduction intuitive aux structures d'erreur.
3. Erreurs faiblement et fortement aléatoires. Simlulation.
4. Formes de Dirichlet et structures d'erreur.
5. Applications et simulation.
Mots clés
Mouvement Brownien, calcul d'Itô, équation de Langevin, théorie des erreurs, semi-groupes continus, moindres carrés, biais et variance, formes de DirichletMéthodes pédagogiques
Les concepts clés sont présentés en cours magistral et mis en application en TD ou en TP suivant leur nature (exercices, simulations Python). Ces TD et TP sont à préparer en amont et sont complétés par des exercices à réaliser en autonomie.Ressources : Polycopié (notes de cours) + document de référence: Théorie des erreurs, par Nicolas Bouleau. Editions Cassini - Spartacus IDH, 2019.
Support pédagogique multimédia
